Объясните прям чтоб хорошо, почему остаток от деления на 9 всегда равен сумме цифр числа

Answer 1

Объясню по-простому на примере числа 2123. Пусть у нас есть 2132 яблока, и их нужно разложить по ящикам по 9 яблок в каждый ящик. Сделаем это так. 2123 - это 2 тысячи, 1 сотня, 2 десятка и 3:

2 тысячи можно представить как 2 по 999 и ещё 2
1 сотню можно представить как 99 и ещё 1.
3 десятка можно представить как 3 по 9 и ещё 3.
2 так и остаётся.

Теперь заметим, что 2*999, 1*99 и 3*9 - каждое делится на 9, значит, эти яблоки можно разложить по ящикам без остатка. И ещё неразложенными остаются 2 + 1 + 3 + 2 яблок, т. е. сумма цифр исходного числа. Вот так и получается.

Но это правило работает не всегда. Ведь остаток от деления на 9 не может быть больше 9, а сумма цифр числа - может. Поэтому работает универсальное правило:

Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9.

Доказывается точно так же. Каждый разряд числа представляется как цифра этого разряда, умноженная на число 999, где количество девяток зависит от разряда и всегда делится на 9 + ещё эта же цифра разряда. Таким образом, в остатке остаётся сумма цифр исходного числа, которая имет тот же остаток от деления на 9, что и исходное число.

По-другому это правило можно сформулировать так: если вычислить сумму цифр числа, в этой сумме также вычислить сумму цифр и т. д, пока не получится однозначное число, то оно и будет остатком от деления на 9 исходного числа, кроме случая, когда это однозначное число - само 9 (при этом исходное число делится на 9 без остатка) .

Пример: 58742 (цифры взяты от фонаря)

58742 = 50000 + 8000 + 700 + 40 + 2 = 5* (9999 + 1) + 8* (999 + 1) + 7* (99 + 4* (9 + 1) + 2 = 5*9999 + 5 + 8*999 + 8 + 7*99 + 7 + 4*9 + 4 + 2 = (5*9999 + 8*999 + 7*99 + 4*9) + (5 + 8 + 7 + 4 + 2) .

Разбили число на 2 слагаемых, одно из которых делится на 9, а другое равно 5 + 8 + 7 + 4 + 2 = 26, имет тот же остаток от деления на 9, что и исходное число.

Дале 26 = 20 + 6 = 2* (9 + 1) + 6 = 2*9 + 2 + 6.

Аналогично остаток такой же, как и у числа 2 + 6 = 8. Т. к. получили однозначное число, не равное 9, то остаток от деления числа 58742 на 9 равен 8.