В четырёхугольнике АВСЕ проведены диагонали АС и ВЕ, которые пересекаются в точке Р. Пусть пл. ВРС= А1= 4,

Question

. пл. СРЕ= А2= 6 и пл. ЕРА= А3= 9. Отсюда легко найти (кому интересно, пусть найдёт) , что пл. АРВ= А1*А3/А2= 4*9/6= 6. На клетчатой бумаге это наглядно можно проиллюстрировать на примере равнобокой трапеции, для которой А (0;0) , В (1;5) , С (5;5) , Е (6;0) и Р (3;3) . Но когда задался целью построить подобное на четырёхугольнике (и, конечно, на клетчатой бумаге) , у которого нет никаких параллельных сторон, ничего сделать не смог. Хотя почти уверен, что такое возможно.
Кто поможет?

Answer 1

Для построения подобной фигуры на клетчатой бумаге без параллельных сторон можно воспользоваться следующим способом:
 
1. Нарисуйте произвольный четырёхугольник ABCD на клетчатой бумаге.
2. Пусть точка P будет пересечением диагоналей AC и BD.
3. Выберите произвольные значения площадей для треугольников APB, BPC, CPD и DPA, например, 4, 6, 8 и 10 сответственно.
4. Разделите каждый из углов при вершинах A, B, C и D на сответствующие отношения площадей треугольников. Например, если угол при вершине A равен 90 градусов, разделите его на 4/10 = 0. 4, а угол при вершине B на 4/6 = 0. 67 и т. д.
5. Проведите линии, соединяющие точки деления внутри каждого угла с противоположной вершиной.
 
Таким образом, вы создадите подобный четырёхугольник с заданными отношениями площадей треугольников, не имеющий параллельных сторон.

Answer 2

Чтобы построить четырехугольник без параллельных сторон, в котором соблюдаются заданные условия с площадями, можно воспользоваться следующими шагами:
- Выберите произвольные точки на клетчатой бумаге, чтобы они не находились на одной прямой и не образовывали параллельных сторон. Например, можно взять:
- A (0, 0)
- B (1, 2)
- C (3, 4)
- D (5, 1)
 
- Проведите диагонали AC и BD, которые пересекутся в точке P. Найдите кординаты P, используя уравнения прямых, которые проходят через точки A, C и B, D.
 
- Вычислите площади треугольников, образованных с этой точкой и сторонами четырехугольника:
- Площадь треугольника APB
- Площадь треугольника BPC
- Площадь треугольника CPD
- Площадь треугольника DPA
 
- Проверьте сотношение площадей: Убедитесь, что выполнены условия, аналогичные вашему примеру (например, A1, A2, A3) . Коректируйте расположение точек, если необходимо.
 
- Используйте формулы для нахождения площадей: Например, площадь треугольника можно вычислить по формуле:\[S = \frac{1}{2} |x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2) |\]
 
- Визуализируйте: Перенесите кординаты на клетчатую бумагу и получите желаемое изображение.
 
Разработайте свою конфигурацию с учетом указанных условий, и гарантированно получится интересный четырехугольник!