Задачка по геометрии

Question

В четырёхуеольнике АВСD (не трапеция! А - нижня левая вершина; читается ПоЧС; углы А и D острые) АВ= 8, СD= 6, АВ перпендикулярна СD. Определить длину МN, где М и N - середины сторон ВС и АD сответственно.
Особенно интересен способ решения, ибо их не мене трёх, в т. ч. один устный.

Answer 1

Представим вырожденный четырехугольник ABCD, в котором углы В и С сведены в одну точку, совпадающую с точкой М. Таким образом, получаем прямоугольный треугольник A М D, угол М - прямой, стороны равны 8 и 6. Тогда гипотенуза АD будет равна 10, отрезок NM равен 5, (как радиус описанной окружности с центром в т. N) . Теперь мысленно перемещая стороны АМ и МD от точки М вдоль лучей прямого угла, замечаем, что стороны ВС и АD будут обеспечивать постоянное значение величины отрезка МN, которое определили ране как равное 5.

Answer 2

Приму без док-ва, что MN никак не зависит от формы 4-угольника.
Построю для простоты вырожденный 4-гольник. Диагональ клетки принимаю за единицу, тогда сторона клетки

Answer 3

Несколько видоизменю ответ Экстраполятора.
Из точки М проведем отрезки МА1 и МД1, равные и параллельные АВ и СД сответственно. Очевидно, что отрезок А1Д1 делится точкой N пополам, и длина МN равна 5 (см. ответ Экстраполятора) и не зависит от длины ВС.