Аксиомы в математике и геометрии

Question

Почему в математике и геометрии аксиомы не доказываются, если их скоре всего придумали исходя из каких либо закономерностей. То есть фактически их можно доказать, объяснить откуда они появились, почему? Или это просто, например, правило, которое не нарушает законы геометрии или математике и при этом упрощает какой-либо процесс решения задачи. Получаеться, это просто рандомно подобранные формулы или правила, которые существуют просто потому что ничего не нарушают и упрощают процесс вычислений и понимания. Как в квантовой физике, там есть факты, а на эти факты накладывают теории, основной принцип, главное что бы теория не противоречила уже существующим фактам, если не противоречит, то она имет право на существование. Аксиомы в математике и геометрии имеют такой же принцип происхождения, или нет? Откуда они взялись?

Answer 1

Математика - это чистая абстракция, а аксиомы являются основой. Ты вполне можешь выбрать другую начальную аксиоматику и получить совершенно другую математику. Просто были выбраны такие аксиомы, чтобы основанная на них математика до определенного предела имела некоторое практическое применение.

Answer 2

Аксиома - это теорема, не требующая доказательства.
Например: через две точки можно провести только одну прямую. Логично. Хочешь, попробуй доказать, но ты лишь потратишь время на ненужное аксиоме доказательство

Answer 3

Без аксиом никакой математики бы не было. Поэтому какие-то очевидные утверждения принимают как основу и дальше из них все остальное выводят. Бывают разные наборы аксиом, из которых можно вывести разное

Answer 4

Берем школьную математику, для начала арифметику.
Первое действие, которое мы проходим - сложение. Если сложить два слагаемых, получится сумма.
Следующе действие - вычитание. Его определяют, как действие, обратное сложению, то есть, вычитание - это определение неизвестного слагаемого, если известны сумма и второе слагаемое.
Дальше - умножение. Это сокращенное сложение.
Деление - действие, обратное умножению (нахождение неизвестного сомножителя при известном произведении и втором сомножителе) .
Дальше путем усложнения мы выведем действия возведения в степень, извлечение корня и логарифмирование.
Все эти действия, таким образом, последовательно выводятся из сложения. А как определить сложение? Я еще в школе пытался найти его определение, пока не прочел у Выгодского: Действие сложения является интуитивным и определению не подлежит.
То есть, чтобы логическая система была строгой, она основывается на последовательных доказательствах, но в основе е всегда лежат некоторые недоказуемые положения и понятия.
Эти положения и названы аксиомами.