Почему любая абелева группа не кольцо?

Question

Есть абелева группа по сложению. Сложение элемента с самим собой просто для удобства будем обозначать ak, где k - количество раз, которое сложили элемент а с самим собой. У нас получается ещё одна операция. И это все отвечает определению кольца (даже лишние свойства приятные есть) . Так вопрос, как быть то? Или мы вводим таким образом как раз таки умножение, а значит создаём кольцо? Но ведь степени существует в теории групп (циклические группы там всякие) . То есть, когда мы ими пользуемся, мы уже обращаемся с этим всем, как с кольцом . В общем, я запутался

Answer 1

Обычно пишут ka. Это, вобще говоря, НЕ бинарная операция: первый элемент - целое число (элемент абелевой группы Z) , второй - элемент вашей произвольной абелевой группы. Но Z - не только адитивная группа, но и кольцо: в ней ЕСТЬ умножение. Таким образом, произвольную абелеву группу ВСЕГДА МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ как модуль над кольцом целых чисел. (Модуль - это обобщение векторного пространства, когда операторы образуют не поле, а просто кольцо. )

Answer 2

В математике термин «кольцо» означает множество, над которым можно выполнять как минимум две бинарные операции, часто называемые сложением и умножением. Однако важно отметить, что не все абелевы группы можно рассматривать как кольца. Причина в том, что группа - это только «множество с одной бинарной операцией», в данном случае - сложением. Чтобы расширить множество до кольца, необходимо ввести вторую бинарную операцию - умножение. Ключевое различие между абелевой группой и кольцом заключается в наличии этой дополнительной мультипликативной бинарной операции.