Как извлекали квадратный корень до изобретения арифмометра ?

Answer 1

Сначала умножали одно число на другое и составили таблицы. Затем, обратным путем извлекали корень. Потом додумались и изобрели логарифмическую линейку.

Answer 2

было много способов для оценки и расчётов в уме, были таблицы логарифмов. Вычисляйте как нравится. У Фейнмана в его нетленке описано как он применял приёмы быстрого счёта, как им учился и как порою все были удивлены.

Answer 3

Методом последовательных приближений. Описано у Лео Скэнлон в архитектуре ibm xt/at. Там не только квадратные но и кубические и высших степеней. Ну и многие функции кое где до сих пор приходится вычислять в ручную. Например, тангенс, логарифм. Для этого используют таблицы в памяти, либо пишут алгоритм. Такое используется в микроконтроллерах, где нет сопроцессора. Потому, что информация с цифровых датчиков приходит в зашифрованном виде.