Почему площадь прямоугольника - умножение ширины на длину?

Question

Типа, мы берём единицу измерения площади - квадрат, длины сторон которого равны единицам в своей системе измерения. Смотрим длину и ширину в этих единицах измерения. Длина прямоугольника скажет, сколько квадратов в ряду. Ширина, сколько таких рядов. Ну и дальше смысл умножения проявляется. Все так?

Теперь вопрос. А что, если брать за единицу измерения площади прямоугольник? Это же по сути будет бредом в силу того, что одна сторона будет измеряться в одной единице измерения, другая - в другой? Или просто каждую сторону нужно будет измерять в своих единицах измерения, а потом перемножать, при этом помня, что площадь в единицах измерения, допустим, м

Answer 1

Площадь криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости от времени - это не бред. Площадь можно нормировать хоть по квадрату, хоть по прямоугольнику, хоть по произвольному компакту с непустой внутренностью, и единицы скорости и времени на нашем графике для этого вводить вобще не требуется.
Чтоб не связываться с зависимостью площади либо от метрики, либо от выбранных единиц скорости и времени, можно так поступить:

Наша плоскость, на которой мы рисуем график, езмь аффинное пространство, ассоциированное с линейным. В линейном пространстве векторы можно складывать, по сложению они образуют локально компактную топологическую группу, которая еще и абелева - знаит, тама есть единственная (с точностью до нормировки) двустороння мера Хара, а сию меру можно нормировать по любому компакту с непустой внутренностью.

Обычно студентам говорят, что мера Жордана является сужением меры Лебега, но мне больше нравится вариант меры Хара - он естественне, хоть и не все измеримые по Лебегу множества измеримы по Хару (т. е. не все измеримые по Лебегу - борелевские) . Борель, кстати, учеником Лебега был, а не наоборот. Мера Лебега - в некотором смысле самая универсальная, но не самая естественная.

Answer 2

Ну будет у тебя площадь прямоугольника 1 прям. . Ничего от этого не изменится, кроме площади других фигур, отлчиных от этого прямоугольника. Да может ещё считать сложне станет.