Система диф. уравнений с двумя переменными

Answer 1

Слушай сюда, братишка. Вижу, ты тут систему дифуров закинул, и хочешь понять, как они решаются, когда аргумент \ ( t \) больше \ ( t_0 \) и при \ ( t_0 \to \infty \) . Значит, поехали разбираться.

Вот у нас система дифуров:

\[
\begin{cases}
M - BSI \cdot \sin (\alpha) = J \cdot \alpha_{tt} \\
\alpha_t \cdot BS \cdot \sin (\alpha) = IR + I_t L
\end{cases}
\]

Тут \ ( t \) - аргумент, а \ ( B, S, M, J \) - константы.

*Первое уравнение:*

\[
M - BSI \cdot \sin (\alpha) = J \cdot \alpha_{tt}
\]

Это второй порядок дифференциального уравнения относительно \ ( \alpha (t) \) . А второе уравнение:

\[
\alpha_t \cdot BS \cdot \sin (\alpha) = IR + I_t L
\]

Это первое порядок дифференциального уравнения относительно \ ( I (t) \) .

Погнали смотреть, как будут выглядеть решения при \ ( t \to \infty \) . Зависит от типа уравнений. Когда \ ( t \to \infty \) , часто решения стремятся к стационарным или осциллирующим состояниям. Важно понимать, что конкретные решения зависят от начальных условий и свойств уравнений.

Для второго порядка дифференциального уравнения, вот тебе примерное решение, если коэффициенты постоянные и уравнение линейное:

\[
\alpha (t) = A \cdot e^{\lambda_1 t} + B \cdot e^{\lambda_2 t}
\]

где \ ( \lambda_1 \) и \ ( \lambda_2 \) - корни характеристического уравнения.

Для первого порядка уравнения \ ( I (t) \) :

\[
I (t) = C \cdot e^{kt}
\]

где \ ( C \) и \ ( k \) - константы.

Но у нас нелинейные уравнения, братан. Тут проще численные методы использовать, чтобы найти решения. В любом случае, при \ ( t \to \infty \) , функции либо будут стремиться к определённому значению (стационарное состояние) , либо будут осциллировать (колебаться) .

Ну всё, держи в курсе, если ещё вопросы будут.