Как, по правилам русского языка пишется?

Question

Неважно, что говорят крысы за спиной у кисы
 
Или
 
Не важно, что говорят крысы за спиной у кисы

Answer 1

Правильны оба варианта.
В зависимости от смысла.
1) [Важно, что говорят. ] - Не важно, что говорят. (отрицание признака) .
2) Неважно, что говорят! (утверждение признака) .

Answer 2

В том смысле, который вкладывается в это выражение - слитно.
Вы не отрицаете важность, а имете в виду: не имет значения.
Это, кстати, тоже признак того, что слитно - слово можно заменить другим, или другими: неважно - не имет значения, без разницы и т. п.