Выяснить имет ли следующая система уравнений какое-либо ненулевое решение

Answer 1

Единственное, что можно добавить - это доказать утверждение Артура в первом абзаце.

Эту системку ты можешь эквивалентным образом записать в виде:
х1 e1 + x2 e2 + x3 e3 = 0
e1, 2, 3 - векторы (неважно, какой природы равенство линейной зависимости можно записать для векторов любой природы, разложив их по базису и сведя все дело к работе с системой. Да и столбцы чисел так то тоже векторы, так что пофиг) .
Как видишь, это равенство-проаерка на линейную зависимость. Нас интересуют ненулевые решения, т. е. чтобы хотя бы один x

Answer 2

Для того чтобы выяснить, имет ли данная система уравнений ненулевое решение, необходимо определить определитель матрицы коэффициентов системы.
 
Матрица коэффициентов системы:
| 1 3 1 |
| 5 -2 3 |
| 4 -5 2 |
 
Определитель матрицы равен:
det = 1* (-2*2- (-5*3) - 3* (5*2-4*3) + 1* (5* (-5) -4* (-2)
det = 1* (45) - 3* (10-12) + 1* (-25+8)
det = 19 - 6 - 17
det = -4
 
Так как определитель матрицы коэффициентов системы уравнений не равен нулю, то система имет только тривиальное решение, то есть система имет только нулевое решение.