Пересекались ли интересы консулов в древнем Риме?

Answer 1

Консулы (их всегда избирали по 2 человека) в мирное время имели практически не ограниченную власть, которая длилась один год и уравновешивалась властью другого консула.
 
В военное время консулы (во всяком случае один из них) становился во главе войска и обладал неограниченной властью.

Answer 2

На прямую пересекались. Это два независимых друг от друга римских гражданина, получивших пополам власть над Республикой. У двух разных граждан цели могут быть разными, а могут быть и едиными. Если они разные, то это прямой конфликт интересов.