В правильной треугольной пирамиде SABC с основание ABC известны рёбра: AB=8корнь (3) , SC=17. Найдите угол, образованный

Question

Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.

Answer 1

Обозначим середину BC - A', середину AS - A'', а основание высоты пирамиды - О. Поскольку пирамида правильная, О - центр треугольника ABC, он же точка пересечения его медиан, следовательно Опринадлежит плоскости AA'S, т. к. этой плоскости принадлежит точки А и A', а следовательно и вся прямая AA', а следовательно и точка O. Следовательно, плоскость AA'S перпендикулярна плоскости ABC, т. к. содержит прямую (SO) , перпендикулярную этой плоскости. Следовательно через точку A'' в плоскости AA'S можно провести прямую, перпендикулярную плоскости ABC и она будет пересекать отрезок AC, т. е. перпендикулярная проекция прямой A''A' есть прямая AA', следовательно, угол между указанными прямыми и будет искомым углом. Искомый угол можно вычислить с. о. Например, из треугольника ASA', где тебе известны все стороны (AS=SC=17: AC - высота правильного треугольника с известной стороной; SA' - высота равнобедренного треугольника, у которого тебе известны все стороны) можно найти угол А по теореме косинусов. Зная угол А и две стороны в треугольнике AA'A"", можно найти третью сторону, опять же, по теореме косинусов. А зная две стороны и противолежащий угол к одной из них, можно по теореме синусов найти угол, противолежащий второй стороне (угол С противолежащий стороне AA'') .
 
Короче. Самое главное доказать, что искомый угол - это угол между прямыми AA' и A"A', а дальше аккуратно из разных треугольников находим недостающие элементы.