Как произошло слово откачивать? В смысле логических связей со словом качать?

Answer 1

Для начала - ты про что?
Но и в случае с насосами и в случае с искусственным дыханием - все это качающие движения
У насосов (первых) тоже были качающие, там поршни, либо вобще журавлик с ведром и т. п.

Answer 2

Качать от чего то. наоборот - накачивать, то есть - качать на что то.
сленговое выражение - откачать от смерти, связанно с реанимационными действиями - непрямой массаж сердца, и искусственная вентиляция легких.