Решение, характеристический, Диф. уравнение, полином.

Question

Почему при кратных решениях характеристического уравнения от линейного дифференциального уравнения, его решение записывается в виде полинома от х? Как это вывести?
В случае комплексных корней все понятно. Тупо по формуле Эйлера расписал, и все. а в случае кратных корней не понятно как это выводится. Помогите, а?

Answer 1

Есть у вас линейный однородный диффур n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вы, допустим, нашли корни его характеристического уравнения, их m штук:
k1, k2, , km.
и пусть m n, т. е. некоторые корни кратные. Кратность j-го обозначим gj. Тогда ваше уравнение может быть переписано в виде:
 (D - k1) ^g1 (D - k2) ^g2 . (D - km) ^gm y = 0.
D - оператор взятия призводной,
y - искомая функция.
Скобки эти можно переставлять местами. Интересуемся, например, корнем k2. Делаем замену:
y = exp (k2 x) z.
Подставляем в уравнение:
 (D - k1) ^g1 (D - k2) ^g2 . (D - km) ^gm exp (k2 x) z = 0,
выносим экспонету за операторы:
exp (k2 x) (D + k2 - k1) ^g1 (D + k2 - k2) ^g2 . (D + k2 - km) ^gm z = 0,
сокращаем на экспоненту:
 (D + k2 - k1) ^g1 D^g2 . (D + k2 - km) ^gm z = 0,
опреатор D^g2 переносим направо:
 (D + k2 - k1) ^g1 . (D + k2 - km) ^gm D^g2 z = 0,
и видим, что, если в качестве z взять:
z = x^n, ng2,
то получится:
D^g2 z = 0,
и такое z окажется решением. Это значит, что:
y = x^n exp (k2 x)
решение исходного уравнения при ng2. То же можно проделать с любым корнем характеристического уравнения.