Для чего нужно смешанное произведение?

Question

И почему векторное определяется через него?
 (x, a, b) = (x, d)

Answer 1

Векторное произвндение не определяется через него. И оно нужно не для чего-то, оно просто стало возможным. С появлением двух разных произведений стало возможно умножить одновременно и так и так)

Answer 2

Теорию можно строить разными эквивалентными способами, векторное произведение можно определять по-разному, если кто-то построил определение векторного произведения покомпонентно через смешанное произведение, то этому кому-то и видне, почему ему так удобне.
Это не самый стандартный путь введения векторного произведения.

Зачем нужно смешанное:
Ну, как, евклидово пространство же очень часто случайно оказывается трехмерным, особенно в физике!
Поэтому якобиан линейного преобразования трехмерного евклидового пространства, переводящего правый ОНБ в вашу тройку векторов, и назвали смешанным произведением векторов вашей тройки.
В трехмерном случае.