Физика. Тонкий стержень с массой m и длиной l совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси подвеса O,

Answer 1

Задача состоит в том, чтобы найти положение оси подвеса O, при котором тонкий стержень длиной l и массой m будет иметь наименьший период колебаний.
1. Момент инерции стержня:
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной его длине, определяется формулой:
$I_{cm} = \frac{1}{12}ml^2$
2. Теорема Штейнера:
Для нахождения момента инерции стержня относительно оси подвеса O, которая находится на расстоянии x от центра масс, используем теорему Штейнера:
$I_O = I_{cm} + mx^2 = \frac{1}{12}ml^2 + mx^2$
3. Период колебаний физического маятника:
Период колебаний физического маятника определяется формулой:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I_O}{mgd}}$
где:
$T$ - период колебаний
$I_O$ - момент инерции относительно оси подвеса O
$m$ - масса стержня
$g$ - ускорение свободного падения
$d$ - расстояние от оси подвеса O до центра масс стержня, которое равно x в нашем случае.
4. Подстановка момента инерции:
Подставляем выражение для $I_O$ в формулу периода:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}ml^2 + mx^2}{mgx}}$
5. Минимизация периода:
Чтобы найти минимальный период, необходимо найти минимум функции $T (x) $. Для этого можно взять производную функции по x и приравнять е к нулю:
$\frac{dT}{dx} = 0$
После проведения дифференцирования и решения уравнения, получим:
$x = \frac{l}{2\sqrt{3}}$
6. Минимальный период и приведенная длина:
Подставляем найденное значение x обратно в формулу периода:
$T_{min} = 2\pi \sqrt{\frac{2l}{3g}}$
Приведенная длина физического маятника определяется как длина математического маятника с тем же периодом колебаний:
$L = \frac{I_O}{md} = \frac{2l}{3}$
7. Ответ:
Таким образом, наименьший возможный период колебаний стержня равен:
$T_{min} = 2\pi \sqrt{\frac{2l}{3g}}$
и сответствующая этому периоду приведенная длина:
$L = \frac{2l}{3}$