Линейная алгебра, помогите вспомнить основы.

Question

Честно, не всё помню. а конспекты, как мне казалось, полные и совершенные не отвечают на самые банальные вещи. итак, к сути.

1) как определяется двойственное пространство?

2) почему отображение элементом двойственного пространства вектора - линейно? Потому что линейный функционал - линейная функция и обладает этим свойством по определению?

3) достаточным условием для доказательства изоморфизма будет являться одинаковость размерностей пространств? Или это обязательное условие?

Answer 1

Двойственное пространство (также называемое дуальным или сопряжённым пространством) — это пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве. В случае конечномерного векторного пространства, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на нём.
Отображение элементом двойственного пространства вектора является линейным, потому что каждый элемент двойственного пространства — это линейный функционал, и по определению линейного функционала, он обладает свойством линейности. Это означает, что для любых векторов u и v и любых скаляров