Воздух (молярная масса 28, 98 г/моль) массой 10 кг совершает прямой круговой процесс, который на р - V диаграмме.

Question

. изображается окружностью радиуса 3 м3 или 3 бар с центром в точке (5 м3; 4 бар) . Определить минимальную и максимальную температуру, между которыми протекает круговой процесс.
Я нашёл: Тmin= 162 К, Тmax= 1522 К. Верно ли?
P. S. Приведённый круговой процесс практического значения не имет, ибо реальные процессы с газами протекают по политропам или близким к ним процессам. Однако данная задача имет теоретический интерес и поспособствует лучшему освоению материала.

Answer 1

Я записал уравнение окружности в параметрическом виде: V = 5 + 3cos t p = 4 + 3sin t Где t - это параметр. И задача свелась к тому, чтобы найти, при каких t произведение pV максимально и минимально, т. к. по уравнению состояния это произведение пропорционально температуре T. Перемножаем и получаем: pV = (4 + 3sin t) (5 + 3cos t) = 20 + 15sin t + 12 cos t + 4, 5sin 2t Последне слагаемое преобразовано по формуле синуса двойного аргумента. Теперь ищем производную этой штуки, которую обозначим для удобства f (t) f (t) = 15cos t - 12sin t + 9cos 2t Однако, решение данного уравнения вызвало значительные вычислительные трудности, так как получилось уравнение 4-й степени, и я обратился к машинному решателю. Суть моего решения в замене x = cos t, y = sin t. Тогда имем такую систему: 15x - 9y + 9 (2*x^2 - 1) = 0 x^2 + y^2 = 1 Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе. В результате имем уравнение: 16x^2 + (6x^2 +5x - 6) ^2 = 1 Сайт выдал две пары для действительных x и y: x1=-0, 2493356038571702 y1=-0, 9684171397952332 x2=0, 6655453030183192 y2=0, 7463574543275184 Подставля эти пары в V = 5 + 3x, p = 4 + 3y находим две пары p и V/ Отсюда из pV = (m/M) RT, переводя p из баров в паскали, находим T и получаем два значения: T1 = 164, 3946801 K T2 = 1541, 66533 K Очевидно, первое - минимальное, а второе - максимальное. Т. е. близкое к полученному Вами.

Answer 2

С одной стороны, по Клапейрону имем T=M*p*V/ (m*R) , с другой по условию
p^2+V^2=9.
Может быть, из второго уравнения выразить V и подставить в первое и исследовать полученное ур-е на максимум и минимум, приведя все к системе СИ?