А правда ли, что если в призму можно вписать шар, то и в основание этой призмы можно вписать окружность?

Answer 1

Нет.
Понятно, что в основании должен быть многоугольник с не мене чем 4мя сторонами (в треугольник всегда можно вписать окружность) .
Легко построить призму, в основании которой будет лежать трапеция, в которую нельзя вписать окружность.
Возьмём окружность, построим вокруг неё трапецию, Дополним до пирамиды с вписанной окружностью и начнём наклонять любое основание так, что бы оно касалось окружности. Можно так наклонить, что длина трапеции будет произвольно велика. Вписать окружность в такую фигуру будет нельзя.
Тут рисовать надо, но думаю и так понятно.

Answer 2

Это надо доказывать. Если призма наклонная, то очевидного доказательства не вижу. А думать - лень.
Вижу вот такие утверждения:
1) Для того, чтобы в призму можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было вписать окружность и чтобы высота призмы была равна диаметру этой окружности. Напомню: перпендикулярное сечение призмы - это пересечение призмы плоскостью, пересекающей боковые ребра призмы под прямым углом.
2) Шар можно вписать в ПРЯМУЮ призму, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
Вот это весьма похоже на правду.