Может ли произведение рационального и ирационального чисел оказаться рациональным?

Question

Если да, то в каких случаях?

Answer 1

Да, может. Например, я могу умножить корень из двух (known to be irrational) на нуль (который рационален) и получить снова нуль, то есть рациональное число Но трюк этот проходит только с нулем. Утверждение: произведение любого ирационального числа на ненулевое рациональное всегда является ирациональным числом. Доказывать буду от противного:

Пусть нашлись ирациональное число x и ненулевое рациональное число y = m/n, такие что их произведение z = xy рационально

Промежуточное предложение: произведение рациональных чисел рационально (ясно из определения)

Число u = 1/y = n/m определено (так как y