Решите диофантово уравнение.

Question

Решите в целых числах:
2x

Answer 1

У этого уравнения нет целых решений и связанно это с ирациональностью корня из двух (в своё время это очень нехило жмыхнуло пифагорейцев) . Стандартные доказательства приходят к противному как-то так:

Пусть у вашего уравнение решения все-таки есть (предполагаем противное и будем идти к противоречию) . Тогда рассмотрим любое его решение (x, y) , такое что x и y взаимно просты (вопрос на засыпку — почему такое решение вобще должно найтись? )

Из уравнения ясно, что левая часть четна, поэтому четна и правая. Тогда y должно быть четно (этот переход заслуживает ссылки на какую-нибудь простенькую теоретико-числовую лемму) , то есть имет вид y = 2z

Подставля это дело в уравнение, получаем 2x