Что означает "цавт танем"? Это язык какой-то или что? И как на это обычно отвечают?

Answer 1

Никакая боль и переживания здесь не подразумеваются. Это выражение, (так же как многие другие. в английском тоже) нельзя переводить дословно. Это просто смесь умиления, одобрения и восхищения.
Отвечают - склонив голову, опустив глаза, при этом тупо улыбаясь. Или наоборот, гордо подняв голову и нос выше головы. что тоже выглядит туповато.

Answer 2

Армянский. Это распространенное выражение, знак очень хорошего отношения к Вам, большой нежности.
Дословный перевод "Заберу твою болезнь". Это не значит, что Вас считают больной. А подразумевается: "Возьму твои боли, переживания, всё что тебя беспокоит. на себя".
Кажется, на это никак не отвечают. Разве только, таким же хорошим отношением.
 
Когда случилось жуткое Спитакское землетрясение в Армении, туда приехал Н. Рыжков (из правительства Горбачёва) . Он встречался с людьми, а у самого в глазах - слёзы. Вот одна старушка ему эту фразу тогда и сказала. По телику я видела.