Вопрос по определению детерминанта матрицы

Question

Определитель матриц- это единственная кососимметрическая полилинейная форма строк матрицы, нормированная единицей на единичном наборе векторов.
Почему именно строк матрицы? И что значит нормированная единицей?

Answer 1

Об элементарных преобразованиях слышал? Знаешь, как при элементарных преобразованиях меняется определитель?

Это определение вот о чем.
Есть у тебя матрица n x n.
Берем единичную матрицу порядка n (е определитель равен единице - это и понимается под нормированная единицей в твоем определении) и, используя элементарные преобразования строк, приводим единичную матрицу к нашей матрице (умножение строки на 0 считаем разрешенным ЭП) .

Смотрим, как при каждом ЭП будет меняться определитель - при транспозиции строк он будет менять знак, при умножении строки на скаляр будет умножаться на этот же скаляр, при прибавлении к строке другой строки, умноженной на скаляр, определитель меняться не будет.

Сей метод позволяет нам вычислить определитель произвольной квадратной матрицы. И он же заложен в твоё определение определителя.

Понятно, что такое же определение можно было написать для элементарных преобразований столбцов.

Answer 2

так матрица ж квадратная, так что пофиг, строк ли, столбцов.
если углубляться, почему именно строк, то нужно говорить про сопряженное пространство, я эту тему не вывезу ^_^

нормированная единицей на единичном наборе векторов = определитель единичной матрицы равен единице.