Что такое транспонирование матриц?

Question

С точки зрения линейных трансформаций (в том числе и между измерениями) ?

Answer 1

Транспонирование матрицы - это операция, при которой строки матрицы становятся её столбцами и наоборот. Таким образом, элементы матрицы меняются местами относительно её главной диагонали.
 
С точки зрения линейных трансформаций, транспонирование матрицы может интерпретироваться как изменение ориентации векторов в пространстве. Если исходная матрица представляет собой линейное отображение (линейное преобразование) , то её транспонированная версия будет представлять собой сопряженное (симметричное) отображение. Это может иметь значение, например, в задачах обработки данных или в теории линейных операторов, когда нужно рассмотреть транспонированное отображение для различных приложений.

Answer 2

Эта операция естественным образом возникает при рассмотрении скалярных произведений:
 (x, A y) = (A* x, y) .
Чтобы перенести действие оператора на сопряженные пространство, его надо сопрячь, а в обычном пространстве над действительными числами сопряжение - это транспонирование. На языке строк и столбцов это будет значить, что вы из оператора, действующего на столбцы, получаете оператор, действующий на строки, и наоборот.