Смысл неквадратных матриц?

Question

С точки зрения линейных трансформаций, естественно. Посмотрел, говорят, что этим матрицы характеризуют переход из пространства одной размерности в другое. Но мне это не понятно.
Вот есть базис-вектора:
i = 1i+ 0j
j = 0i + 1j
В сответствующем 2д базисе.
Дальше трансформация. У i, j появились новые кординаты. Вот только отсюда вопрос: если эти векторы перешли в пространство другого измерения, как мы можем их описать? Вот если бы это была трансформация из 2д в 2д:
a1 a2
a3 a4
То тут все просто:
 i = a1*i + a3*j
j = a2*i + a4*j
Выразили новые векторы исходным базисом. Исходный базис - Это 2Д БАЗИС. Тут нет третьего базис вектора.
Вот и непонятно будет, как мы может применить:
b1 b2
b3 b4
b5 b6
У нас просто нет же третьего базис-вектора для описания. К чему относятся компоненты b5, b6?

Answer 1

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть старый и другой базис , который мы будем называть новый. Возьмем призвольный вектор из . Его кординатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом - . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом кординаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно связать друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису
 
 
 
Составим матрицу, столбцами которой служат кординатные столбцы векторов нового базиса
 
 
 
Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Answer 2

если эти векторы перешли в пространство другого измерения, как мы можем их описать?
Пространство необязательно можно себе представить. Например, существуют бесконечномерные Евклидовы пространства (такие, в которых существует бесконечное количество (! ) взаимортогональных (! ) нормированных базовых векторов) . Относись ко всему этому как к некоторой игре, совершенно необязательно имеющей практическое применение.