Матанализ, второй курс, доказательство теоремы Бореля-Лебега

Question

Доказательство через вложенные отрезки понял, но очень хочется понять и доказательство Лебега (если что, смотрел в Википедии) . Конкретне - там говорится, что если у нас [a, x] - компакт, то и [a, x] - компакт, и с этим все очень даже хорошо, но откуда мы все-таки берём, что [a, x] - компакт? Какая-то рекурсия получается - чтобы это доказать, нужно доказать саму теорему, которую как раз и доказываем. Думал над тем, что начинаем работать с отрезка [a, a], но можно ли его вобще можно рассматривать как отрезок?

Answer 1

Доказательство Лебега основано на следующей иде: если отрезок [a, b] покрыт бесконечной системой интервалов, то существует такое число x, что отрезок [a, x] покрыт конечной подсистемой интервалов, а отрезок [x, b] - нет. Тогда x называется точкой Лебега. Для доказательства теоремы Бореля-Лебега достаточно показать, что точка Лебега не существует.
Для этого вводится понятие множества F, состоящего из всех таких x, что отрезок [a, x] покрыт конечной подсистемой интервалов. Ясно, что a принадлежит F, так как отрезок [a, a] покрыт любым интервалом, содержащим a. Также ясно, что F ограничено сверху числом b, так как никакой x не может быть больше b. Тогда по теореме о существовании супремума существует такое число m, что m = sup F. Это число является кандидатом на точку Лебега.
Для того, чтобы доказать, что m не является точкой Лебега, нужно показать, что отрезок [a, m] покрыт конечной подсистемой интервалов, а отрезок [m, b] - нет. Для этого рассмотрим произвольное положительное число