Обобщается ли теорема Лагранжа (формула конечных приращений) на многомерный случай?

Answer 1

Думается, да. Только надо её переформулировать. Видимо, так: пусть гладкая функция зависит от n переменных. Тогда для любой гиперплоскости, пересекающей границу области в nточке - найдётся такая точка этой области, в которой касательная гиперплоскость будет параллельна данной.
Но это надо бы доказать. )