Линейные однородные диффуры второго порядка с постоянными коэффициентами.

Question

Решаются подстановкой такой: y = k

Answer 1

В линейных диффурах линейная комбинация ршений - тоже решение. Поэтому при их решении стараются правдами-неправдами подобраться нужное число линейнонезависимых решений. Если нужное число независимых решений найдено, то их лин. комбинация - тоже решение, обладающе нужным числом независимых произвольных констант (констант интегрирования) , а потому это обще решение уравнения. Когда уравнение еще и с постоянными коэффициентами, это значит, функция с е производными складываются в 0. Таким свойством обладают в первую очередь экспорненты, поэтому первым делом ищутся решения в виде экспонент. Часто их сразу находится нужное число разных. Если нужного числа решений в виде экспонент не нашлось, можно поискать в виде экспонент, умноженных на полиномы. Так вот, когда вы ищите решение в виде экспоненты:
y (x) = exp (k x) ,
подставляете y в таком виде в уравнение, вы можете после взятия производных сократить уравнение на экспоненту, и получить уравнение отн-но k (характеристическое уравнение) . Оттуда оно и берется (а вот писать y = k^2, y = k - это странно) .