Как показать, что функция expx больше нуля ?

Question

Без прибегания к e^x, зная, что expx = lim (1+x/n) ^n, expx непрерывна на R и строго возрастает.
Через предельный переход (т. к. послед-ть принимает только положительные значения, начиная с некоторого N) получается неравенство expx = 0, тогда как показать, что expx не равна 0 ?

Answer 1

Для того, чтобы показать, что функция expx больше нуля, нам нужно показать, что она не равна нулю ни для одного значения x.
 
Допустим, что существует такое значение x, для которого expx = 0. Тогда, из непрерывности функции expx следует, что она равна нулю для всех значений x, меньших или равных x.
 
Но это противоречит тому, что expx строго возрастает. Действительно, для любого значения x, меньшего или равного x, существует такое значение n, что (1 + x/n) ^n 0. Тогда, из определения предела следует, что expx 0.
 
Таким образом, мы приходим к противоречию, которое означает, что наше предположение неверно. Следовательно, функция expx не равна нулю ни для одного значения x.
 
Формально, доказательство можно записать следующим образом:
 
 
Пусть существует такое значение x, для которого expx = 0. Тогда, из непрерывности функции expx следует, что она равна нулю для всех значений x, меньших или равных x.
 
Пусть N - такое значение n, что (1 + x/n) ^n 0. Тогда, из определения предела следует, что expx 0.
 
Это противоречие, которое означает, что наше предположение неверно. Следовательно, функция expx не равна нулю ни для одного значения x.
 
 
Ответ:
 
Функция expx больше нуля для всех значений x, кроме нуля.