Есть ли углы кроме 30°, напротив которых лежит катет, составляющий часть от гипотенузы?

Question

Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Это 7 класс геометрии.
Но я так задумался — получается, есть и другие углы, у которых есть такое отношение? Так вот, вопрос — есть ли другие углы, напротив которого лежит катет, равный 1/n от гипотенузы? И есть ли какая-нибудь формула для расчета этого?

Answer 1

Теорема о катете, лежащем напротив угла в 30 градусов, утверждает, что при любом другом угле отношение длин катетов к гипотенузе не будет целым числом. Это означает, что нет других углов, у которых катет составляет часть от гипотенузы (кроме угла в 30°) .

Если бы существовали другие такие углы, то мы могли бы построить бесконечную последовательность подобных треугольников, что невозможно, так как это противоречит теореме Пифагора.

Таким образом, формулы для расчета таких углов не существует, и это утверждение справедливо только для угла в 30°.

Answer 2

Катет всегда меньше гипотенузы, поэтому он всегда равен части гипотенузы.
Если угол равен a, а гипотенуза равна H, тогда катеты равны cos (a) *H это прилежащий катет и sin (a) *H это противолежащий катет. Если известен один из двух углов, тогда известны все углы треугольника, как и все сотношения этого треугольника.

Answer 3

В смысле, такие углы, при которых сотношение катета и гипотенузы выражается каким-то другим рациональным числом? Есть, конечно. Посчитать их можно через арксинус сотв. величины, а его в свою очередь - через последовательность Тейлора.