Помогите пожалуйста с задачей

Question

Задача. По кругу расставлено 100 чисел, каждое из которых равно равно 99, 100 или 101, причём любые два соседних числа различны. Лёша разбил эти числа на 50 пар соседних чисел, Миша тоже разбил эти числа на 50 пар соседних чисел, но другим способом. Дале каждый из них числа в парах перемножил и полученные произведения сложил. Докажите, что полученные Лёшей и Мишей числа равны.
Решение. Будем уменьшать количество чисел в кругу так, чтобы числа Лёши и Миши менялись на одно и то же число. Пусть a, b, c — это числа 99, 100, 101 в некотором порядке. Заметим, что если заменить подряд идущие числа
 
a, b, c на число a/ a, b, c на число b/ a, b, a на число a/ a, b, a на число b/ a, b, a на число c
 
, то числа Лёши и Миши уменьшатся на одно и то же число.
 
Будем проделывать эти операции, пока это возможно. На каждом шаге обще количество чисел будет
чётно/ нечётно
. Если ни одну из операций сделать не получается, то числа по кругу периодичны с длиной минимального периода
2/3/4/5/6
 
. Следовательно, обще количество оставшихся чисел n обязательно делится на
 
4/5/6/10/12
Осталось заметить, что каждое из произведений ab, bc, ca встречается и у Лёши, и у Миши по
n/2; n/3; n/4; n/5; n/6; n/12
раз, а потому числа Лёши и Миши равны.

Answer 1

Ваша задача уже содержит решение, но я могу помочь вам сформулировать его боле понятно.
 
Решение: Давайте уменьшим количество чисел в кругу таким образом, чтобы числа, полученные Лёшей и Мишей, уменьшались на одно и то же число. Пусть a, b, c — это числа 99, 100, 101 в некотором порядке. Если мы заменим подряд идущие числа a, b, c на число a, или a, b, c на число b, или a, b, a на число a, или a, b, a на число b, или a, b, a на число c, то числа Лёши и Миши уменьшатся на одно и то же число.
 
Мы будем продолжать эти операции, пока это возможно. На каждом шаге обще количество чисел будет чётно. Если ни одну из операций выполнить не удаётся, то числа по кругу становятся периодичными с длиной минимального периода 2. Следовательно, обще количество оставшихся чисел n обязательно делится на 4.
 
Осталось заметить, что каждое из произведений ab, bc, ca встречается и у Лёши, и у Миши по n/4 раз, а потому числа Лёши и Миши равны.

Answer 2

Для доказательства равенства полученных чисел рассмотрим следующий способ разбиения на пары. Разобьём все числа на пары соседних, начиная с первого и второго числа, затем третьего и четвёртого и так дале. Тогда произведения чисел в каждой паре будут чередоваться: сначала будет произведение двух чётных чисел, затем произведение двух нечётных и так дале. Так как чётное число, умноженное на чётное, и нечётное, умноженное на нечётное, дают одинаковый результат, то произведения во всех парах будут одинаковыми. Следовательно, сумма этих произведений будет кратна числу 50.
 
С другой стороны, рассмотрим пару чисел, которые не были соседними. Эти числа не могут быть кратными 50, так как любое число, кратное 50, больше 100. Таким образом, все числа, которые были в парах с “не соседними” числами, также не кратны 50. Но сумма чисел, не кратных 50, также не может быть кратна 50 (так как если сложить два числа, не кратные 50, то результат также не будет кратен 50) .

Вуаля