Движение двух тел в центральном поле

Answer 1

В центральном поле силы действует только по направлению к центру поля. Примером такого поля является гравитационное поле Земли или Солнца.
 
В лекции, на которую вы ссылаетесь, рассматривается случай движения двух тел в центральном поле, когда одно из них (например, Солнце) намного больше другого (например, планета) и можно считать, что оно покоится в центре поля. Тогда движение меньшего тела (планеты) можно описать с помощью закона сохранения энергии и закона сохранения момента импульса.
 
Закон сохранения энергии говорит, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела не меняется во время движения. Закон сохранения момента импульса говорит, что момент импульса тела относительно центра поля не меняется во время движения. Эти законы выполняются, если на тело не действуют другие силы, кроме центральной.
 
Используя эти законы, можно получить уравнение траектории движения тела в центральном поле, которое имет вид конического сечения (окружность, эллипс, парабола или гипербола) . В зависимости от значения эксцентриситета (отношения фокусного расстояния к большой полуоси) можно определить тип траектории.

Answer 2

Эх. Сергей Васильевич .
А в чем тут непонятность? Закон сохранения энергии к этой теме должен быть уже давно выведен. Так что вы и сами знаете, что он выполняется, если функция Лагранжа не зависит от времени явно. В данном случае она от времени явно зависит?
То же и с углом. Вы уже должны были получить, что, если в полярных кординатах функция Лагранжа не содержит явно угол, то момент импульса сохраняется. В данном случае функция Лагранжа явно зависит от угла?