Почему у меня не работает схема?

Answer 1

1) Убил ключ неадекватно-высоким током
2) Напутал фазировку обмотки обратной связи
3) Не туда подключился у вторички

И да, без диода есть все шансы пробить переход БЭ при отрицательной полуволне.

Answer 2

Поменяй местами выводы зеленой обмотки.

Резистор брать большего номинала (подбор)

Диод не нужен.

Питание от 3. 6 вольт.

Наличие выхода проверить подключением неонки через 200 кОм.