Каким образом перекидывать множители по правилу пропорции? В дифференциальных уравнениях! никак не пойму этот момент!

Answer 1

Забудьте про "правила пропорции". Это простое умножение или деление обеих частей уравнения на один и тот же множитель. В Вашем примере обе части уравнения:
1) разделили на v
2) умножили на dx
3) разделили на корень.
 
А потом проинтегрировали.
 
Смысл этих "перекидываний" в том, чтобы с одной стороны остались выражения, зависящие только от х, а с другой - только от v.

Answer 2

Когда переменные разделяются (как в данном примере) ,
надо собрать все множители с одной переменной - в левой
части, а с другой переменной - в другой части.
 
f (x) dy/dx=g (y) , dy/g (y) =dx/f (x) .