Помогите с институтской задачей на переменную массу

Question

Ракета начинает двигаться в облаке пыли. Пылинки неподвижны и прилипают к ракете при ударе. Начальная скорость ракеты равна нулю, скорость истечения газов относительно ракеты равна ? , массой корпуса ракеты по сравнению со стартовой массой топлива можно пренебречь. Кроме того известно, что в любой момент полёта ракеты масса израсходованного топлива равна массе налипшей пыли. Найти в таком облаке максимальную скорость ракеты.

Ответ: u (1-e^ (-1) . Не пойму, как должно выглядеть уравнение движения. И зси для системы пробовал, и ур-е Мещерского, ничего путного не выходит

Answer 1

Если массы налипает столько же, сколько и улетает - задача, наоборот, упрощается. Просто вычисли ускорение, которое придает струя газов при данной скорости истечения (и данной, кстати, массе расхода топлива в секунду) - и это ускорение будет оставаться постоянным все время, пока работает двигатель.

Answer 2

Обозначим:
m - оставшаяся масса ракеты (топлива) ,
n - масса налипшей пыли,
v - скорость ракеты,
Vm - максимальная скорость ракеты.
Запишем ЗСИ, слева от равенства импульс в момент времени t, справа от равенства импульс в момент t + dt:
 (m + n) v = (m - |dm| + n + dn) (v + dv) + |dm| (v - u) .
Первое слагаемое в правой части - импульс ракеты с налипшей пылью, второе слагаемое в правой части - импульс выброшенных за время dt газов. Раскрываем скобки, приводим подобные, откидываем лишние малости (дифференциально малые степени выше первой) , учитываем, что dm отрицательно, получаем:
 (m + n) dv = - dn v - dm u.
Учитываем теперь условие: масса налипшей пыли равна массе потраченного топлива:
n = m0 - m,
и уравнение принимает вид:
m0 dv = dm (v - u) .
Разделяем переменные, интегрируем: