Вывод обратного преобразования Фурье

Question

прошу показать вывод

Answer 1

Обратное преобразование Фурье (Inverse Fourier Transform) - это математическая операция, которая позволяет восстановить исходную функцию из её частотного представления, полученного с помощью преобразования Фурье. Важным инструментом для вывода обратного преобразования Фурье является парное преобразование Фурье (прямое и обратное) , которое определяется следующим образом:
 
Прямое преобразование Фурье:
\[
F (k) = \int_{-\infty}^{\infty} f (x) e^{-2\pi i k x} dx
\]
 
Обратное преобразование Фурье:
\[
f (x) = \int_{-\infty}^{\infty} F (k) e^{2\pi i k x} dk
\]
 
Вывод обратного преобразования Фурье можно представить следующим образом:
 
1. Начнем с определения обратного преобразования Фурье.
 
2. Заметим, что в обратном преобразовании Фурье интеграл берется по частотам k, а в прямом преобразовании Фурье интеграл берется по кординатам x.
 
3. Для вывода обратного преобразования Фурье мы можем воспользоваться прямым преобразованием Фурье и заменить функцию F (k) в обратном преобразовании Фурье на её выражение из прямого преобразования:
 
\[
f (x) = \int_{-\infty}^{\infty} F (k) e^{2\pi i k x} dk = \int_{-\infty}^{\infty} \left (\int_{-\infty}^{\infty} f (u) e^{-2\pi i k u} du\right) e^{2\pi i k x} dk
\]
 
4. Мы можем поменять порядок интегрирования, так как функции, которые мы рассматриваем, являются аналитическими и подходят для этого:
 
\[
f (x) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f (u) e^{-2\pi i k u} e^{2\pi i k x} du dk
\]
 
5. Теперь мы можем объединить экспоненты с одинаковыми основаниями:
 
\[
f (x) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f (u) e^{2\pi i k (x - u) } du dk
\]
 
6. Дале, мы можем интегрировать по переменной u:
 
\[
f (x) = \int_{-\infty}^{\infty} \left (\int_{-\infty}^{\infty} f (u) e^{2\pi i k (x - u) } du\right) dk
\]
 
7. Интеграл по переменной u внутри скобок - это преобразование Фурье от функции f (u) в точке (x - u) . Таким образом, это становится:
 
\[
f (x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (x - u) dk
\]
 
где \ (\hat{f} (x - u) \) - это преобразование Фурье функции f (u) в точке (x - u) .
 
Таким образом, мы получили обратное преобразование Фурье:
 
\[
f (x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (x - u) du
\]
 
Это интегральное выражение описывает, как можно восстановить исходную функцию f (x) из её частотного представления \ (\hat{f} (k) \) .