Подргуппа первого порядка и подгруппа второго порядка

Question

это что?

Answer 1

Сорт другими словами Абелева группа порядка 12 изоморфна прямому произведению групп порядка 4 и порядка 3. Чтобы она оказалась не циклической, должно быть ZZZ
, что также изоморфно ZZ
.
 
Подгрупп порядка 2 здесь столько же, сколько элементов порядка 2. Рассмотрим вторую из групп. Если для её элемента
 справедливо равенство
, то
 (подходит любой из двух элементов) и
 (подходит один из двух элементов
,
, где
 - образующий Z
) . Итого имется 4 элемента, квадрат которых равен единичному. Среди них имется единичный, а остальные три имеют порядок 2. Именно столько будет подгрупп порядка 2.
 
Подсчитать число подгрупп порядка 6 можно разными способами. Например, можно рассматривать гомоморфизмы на Z
: их ядрами будут в точности все подгруппы порядка 6, и ядер ровно столько, сколько гомоморфизмов. Задать гомоморфизм прямого произведения в группу, означает задать гомоморфизм каждого из сомножителей (для абелевых групп это даёт взаимно однозначное сответствие) . Из Z
 в Z
 имется два гомоморфизма, а из Z
 в Z
 только один (единичный) . Поэтому всего имется 4 гомоморфизма нашей группы в Z
, и из них все, кроме единичного, являются гомоморфизмами на Z
 (то есть сюръективными) . Поэтому подгрупп порядка 6 также имется три.