О доказательстве потенциальности некоторых полей

Question

Как известно, гравитационное и электростатическое поля графически изображаются сетками, состоящими из эквипотенциальных линий и линий действия сответствующих (гравиационных и электростатических) сил, идущих перпендикулярно к первым линиям. Для доказательства того, что работа, совершаемая этими полями, зависит только от начального и конечного положения подвергаемых воздействию тел, а не от их траектории, в некоторых учебниках поступают следующим образом: криволинейную траекторию тела заменяют ломаной, ступенчатой линией - шаг по эквипотенциальной линии и шаг по линии действия сил. По первым кускам (шагам) работа не совершается, по вторым же суммарная работа зависит только от местоположения начальной и конечной эквипотенциальных линий. Затем шаги неограниченно уменьшаются и ломаная линия сливается с траекторией тела. Тем самым доказательство считается завершенным.
Верен ли такой подход и если нет - почему?

Answer 1

Такой подход не является строго доказательным и не полностью коректным для общего случая.
 
Во-первых, замена криволинейной траектории ломаной линией, состоящей из шагов по эквипотенциальным и линиям действия сил, не всегда осуществима. Некоторые траектории могут быть очень сложными и не могут быть адекватно приближены ломаной линией.
 
Во-вторых, в случае с гравитационным и электростатическим полем работа зависит не только от начального и конечного положения тела, но и от пути, по которому происходит перемещение. Например, если тело движется под действием гравитационного поля сначала вверх, а потом падает вниз, то в данном случае работа будет отличаться от нуля. Таким образом, работа не может быть полностью определена только по местоположению начальной и конечной эквипотенциальных линий.
 
Несмотря на эти ограничения, подход с использованием ломаной линии может быть полезным и понятным приближением для некоторых простых случаев, и он может помочь понять основные принципы работы полей. Однако для полного и строго доказательного рассмотрения работы полей необходимо использовать боле сложные методы, такие как интегралы или векторный анализ.

Answer 2

Скалярное произведение линейно по каждому аргументу, а все поля в физике хорошие, достаточно раз гладкие кроме особых случаев.
Посему в сотношении dA = (F, dS) никто не мешает вам разбить вектор dS на сумму двух, чтоб вместо кривой бежать по ломаной.

Норм способ для детей. Ведь чтоб док-во через ротор было совсем-совсем интуитивно понятным, неплохо бы теорему разложения Гельмгольца понимать, лучше уж без роторов обойтись,