Существует ли доказательство, что площадь боковой поверхности цилиндра ровна площади е развертки?

Answer 1

А разве тут нужны доказательства?
Часть цилиндрической поверхности, находящаяся между плоскостями оснований, называется боковой поверхностью цилиндра.

Answer 2

Если и существует строгое доказательство этого утверждения, то в достаточно далёкой от школьной математики области - в разделах математики под названием топология или, скажем, в дифференциальной геометрии.
В школьном варианте стереометрии факт, что площадь цилиндрической поверхности не изменится при преобразовании цилиндрической поверхности в плоскость, принимается как данность, не требующая отдельного доказательства.