Как доказать, что если полилинейная форма имет хотя бы пару одинаковых элементов, то она равна нулю?

Answer 1

В общем случае никак. Вы таки не поняли, какое это работает из нашего обсуждения? Такое будет неизбежным только для антисимметричной полилинейной формы. А линейная зависимость тут вобще не при чем. В качестве примера возьмите билинейную фурому: скалярное произвение векторов. Ну и что, у нас всегда будет 0 при умножении одинаковых векторов? Чего ж вы постоянно просите доказать или обосновать заведомо ложные утверждения)

Answer 2

Это ложное утверждение. Контрпример - скалярное произведение ненулевого вектора на себя.

Полилинейная форма обращается в ноль на каждом кортеже, содержащем пару одинаковых векторов <=> она кососимметрична.

На линейно зависимых наборах векторов кососимметричная полилинейная форма обращается в ноль.

Вапоминайте док-во свойств определителя при элементарных преоьразованиях, вы там сперва доказываете его полилинейность по строкам (столбцам) и кососимметричность, а оттуда уже остальные свойства следуют. Тап аналогично всё. А я на подильнике, прсать невдобно, клава мелкая.