Эквивалент определения непрерывности функции , но со *

Answer 1

Ваше самое первое определение из текста - общетопологическое. Никакого R там не предполагается.
Предел по базе (он же предел вдоль фильтра) - тоже общетопологическое понятие.

Непрерывность функции слева/справа - фигня из основ матана, предполагающся, что функция задана на подмножестве R.

Всяки разны определения из основ матана/ТФДП тут в книженции переводятся на общетопологический язык.
То, что со звездочкой, именно об этом, как непрерывность слева/справа на общетопологический язык перевести.

Если вы не знаете, что такое образ и пробраз, то вы, наверное, книжку не по уровню взяли.
Что такое образ и пробраз, объясню позже (если никто другой не успет) . Но книжка пока что не для вас эта!