Почему p=mg? и в каких случаях оно не равно.

Answer 1

При любых равно. Это определение. Если неравно, то это что-то другое, а не сила. Возможен случай, когда неверно формула понимается и применяется.
Эта формула частный случай определения силы, в общем случае g - любое ускорение, а не только свободного падения. И ускорение имет направление вдобавок и ускорение и масса могут изменяться со временем. Но, в каждое мгновение по каждому направлению формула верна.

Answer 2

Данная формула работает для неподвижных тел, как если бы они были в стазисе, когда тело находится в процессе ускорения, торможения или постоянного изменения траектории с постоянной скоростью например по кругу формула не будет работать. Потому что при ускорении, торможении и изменении траектории меняется вес тела (g) из-за возникающих сил инерции. (инерционного вектора)