Многочлены степени не выше d образуют линейное пространство. Доказать.

Question

Докажите пожалуйсто данную теорему. Единственный билет остался и никак не могу найти в учебниках доказательство. Если не сложно, распишите грамотно, по пунктам. Большое спасибо.

Answer 1

А проверить просто по пунктам? У тебя же умножение на скаляр и сложение, ты не выходишь за рамки степени d.
 
a1dx^d+. +a11x^1+a10
+
a2dx^d+. +a21x^1+a20
-
 (a1d+a2d) x^d+. + (a11+a21) x^1+ (a10+a20)
 
опять многочлен степени <=d (потому, что может быть a1d+a2d = 0)
-
0 и 1 - те же, скаляры. Базис: 1, x, x^2, x^3, x^d
-
Можно очень изящно: нулевой элемент, как нейтральный по сложению, определить как 0 + 0x + 0x^2 + . +0x^d
а все многочлены в отсутствующих степенях имеют слагаемые типа 0*x^i
Дальше тупо подставляем в аксиомы. Обратным является тот многочлен, у которого все коэфф с обратным знаком.