Почему ирациональные числа записываются через запятую?

Answer 1

В тексте на фото нет ирациональных чисел.
Дробная часть от целой отделяется тем символом, который принят в языке, для русского считается (ошибочно) , что это запятая, хотя сейчас общепринята точка.
Способ записи чего-либо называют нотацией, её обговаривают в стандартах.
Запись чисел меняется с течением времени. Вы ещё не сталкивались с научной нотацией.

Answer 2

Здесь записывают не числа, а цифры одного и того же числа (рационального или ирационального - неважно) , используя не совсем коректную, но понятную читателю запись, когда на первом месте записывается целое число (a0) , затем пишется запятая (разделитель целой и дробной части) , а a1, a2, a3 и т. д. - это цифры или знаки после запятой данного числа, которые здесь пишутся вместе и без пробелов. Уточняется, как правило, что не следует воспринимать данную запись как перемножение чисел a1, a2 и т. д. (вопреки правилу, согласно которому если между буквенными переменными не стоит никакой знак, то там стоит знак умножения) .
Здесь имется в виду, что если вместо a0 подставить конкретное целое число, а вместо a1, a2 и т. д. - конкретные цифры (просто заменив на них сответствующие буквы) , то получится запись конкретного действительного числа (неважно, рационального или ирационального) .
Нули справа дописывают в случае рационального числа, чтобы допустить единобразие записей рационального и ирационального числа и получить общепринятую запись действительного числа.
Например, если a0 = 10, a1 = 3, a2 = 5, a3 = 1, a4 = 7, a5 = 8 и т. д, то получится число 10, 35178. Многоточие после числа означает, что дальше последовательность цифр продолжается до бесконечности, и если так для каждого n можно определить сответствующую ему цифру an, то действительное число считается полностью заданным.
В случае, если число рациональное и может быть записано в виде конечной десятичной дроби (в десятичной записи числа есть последний знак после запятой) , то справа можно приписать сколько угодно нулей, от этого число не изменится. В том числе и бесконечно много нулей, тогда получится общепринятая запись действительного числа.
Здесь же говорится, что есть ещё один способ записи числа, которое может быть записано в виде конечной десятичной дроби: уменьшить последний знак в его десятичной записи на 1 и приписать бесконечное количество девяток. В некоторой другой литературе упоминается, что такая форма записи числа (когда, начиная с какого-то знака после запятой идут одни девятки) запрещена, и в таком случае для любого действительного числа существует одна и только одна форма его записи в виде бесконечной десятичной дроби.