Question

Почему в определении предела функции по Коши окрестность проколотая?

Answer 1

Потому, что бесконечный ряд не имет конечного члена.
Как только такой член появится, то и окрестность будет полноценной.
Ибо выброшенная точка сответствует именно последнему "идеальному" члену ряда.

Answer 2

потому, что это позволяет найти предел и там, где в самой точке функция не определена.
 
например, это иногда позволяет допределить функцию в точке, где она была не определена так, что получится непрерывность на всем интервале.
 
например, если у нас функция x*sin (1/x) - в нуле она не определена, но по определению мы можем найти предел е в нуле, lim = 0? а значит, что если мы допределим функцию как
f (x) =
 x sin (1/x) при x! =0
 0 при х=0
то получим хорошую непрерывную функцию.