Зачем нужно разлагать функцию в точке x-a ряд Тейлора, если можно просто разложить в точке x?

Answer 1

Разложение функции в точке x-a в ряд Тейлора имет ряд преимуществ перед разложением в точке x.
 
Во-первых, разложение в точке x-a позволяет получить боле точное приближение функции в окрестности точки x=a, чем при разложении в точке x. Это особенно важно, если функция не является гладкой или имет особенности в точке x=a.
 
Во-вторых, разложение в точке x-a удобно использовать для дифференцирования и интегрирования функции в окрестности точки x=a. Например, если известен ряд Тейлора функции f (x) в точке x=a, то можно легко найти ряд Тейлора е производной f (x) и интеграла F (x) , также в точке x=a.
 
Наконец, ряд Тейлора функции в точке x-a можно использовать для приближенного вычисления значений функции в окрестности точки x=a. Для этого достаточно ограничиться несколькими первыми членами ряда, что может быть полезно, если точное вычисление значений функции в этой окрестности является слишком трудоемким.

Answer 2

Это обобщение, для простоты на самом деле.
Попробуйте разложить ln x в точке х=0, удивитесь.
Или например 1/х.
Не все функции в нуле существуют. Или не у всех функций производная в нуле существует.
А так, мы выбираем удобную нам точку.
Ну, и если вы делаете вычисления - то там оптимальное положение выбрать надо - чтоб меньше расчетов. С одной стороны - чем больше членов берем, тем точне получаем, но каждый новый член вычислять сложне там же степень - е возводить надо, а вот выбрать точку близкую к нашем исследуемому интервалу - расчетов меньше.
Когда много раз особенно посчитать что-то надо.