Уравнение малых колебаний в общем виде

Answer 1

Раскладывать потенциальную энергию в полноценный ряд Тейлора и не требовалось, но формула Тейлора и ряд Тейлора у физиков синонимичны, поэтому там написано, что использован ряд Тейлора.
На самом-то деле там правильне было использовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, после чего сказать. что остаточный член в форме Пеано в пределах допустимой погрешности можно (и удобно) принять нулевым, тем самым линеаризовав дифференциальное уравнение колебаний.
Это и было проделано.
Малые колебания - это не малые, а такие, дифференциальное уравнение которых линейно.

Answer 2

Если бы колебания были не названы не просто малыми, а малюсенькими, то там бы вобще все члены ряда после нулевого отбросили, потенциальная энерния получилась бы константой, решением уравения колебаний получилось бы уравнение равномерного прямолинейного движения.
Колебаниями такую ерунду назвать сложно, поэтому учли еще следующий ненулевой член. Иначе просто ничего колебаться не будет)

Заметь, первая производная u (0) = 0, потому что ты рассматриваешь положение равновесия.
Боле того, u (0) = 0 (предполагается 0) , потому что равновесие предполагается устойчивым, хотя там и не написано об устойчивости.