Меняю гиперболический косинус на ДПФ!

Question

cos (3x) = 4cos^3 (x) - 3cos (x) =
ch (3x) = 4ch^3 (x) - 3ch (x) = меняем экспоненту на t
f (t^3) = 4f^3 (t) - 3f (t) , где f (t) = (t + 1/t) /2
Здесь можно просто раскрыть скобки по формулам сокращенного умножения, но через cos и ch понятне, как догадаться до замены.
 
Дале, в уравнении x^3 + px + q = 0 делаем замену y = const*x, чтобы коэффициенты при y^3 и y сотносились как 4:-3, константа комплексная.
Подставляем y = f (t) из абзаца выше и получается формула Кардано.
 
А как догадаться до формулы Кардано при помощи дискретного преобразования Фурье?

Answer 1

По-моему, если забить на решение кубических уравнений при помощи гиперболических и тригонометрических функций, то проще догадаться до замены, основанной на тождестве
f (t^3) = (f (t) ^3 - 3f (t) , где f (t) = t + 1/t.

Насчет Фурье, так кубические уравнения решал Лагранж еще до появления теории Галуа, ищите. кубические уравнения метод Лагранжа.

Answer 2

Можно, наверное, рассмотреть периодическую функцию дискретного аргумента:
Y = Y (n)
Такую, что:
Y (1) = x1
Y (2) = x2
Y (3) = x3
Y (n + 3) = Y (n)
Тогда кубическое уравнение:
x^3 + a x + b = 0
можно будет записать так:
Y (n) ^3 + a Y (n) + b = 0
А дальше можно попробовать представить Y (n) в виде разложения по базисным функциям. В вашем случае: по косинусам. Подставить это дело в уравнение. И, как обычно, скалярно умножить k-ю базисную функцию. Трабл останется только в первом слагаемом, и хочется надеяться, что сверточку 4-х косинусов в нем можно будет как-нибудь красиво преобразовать)