Как связан дифференциал и интеграл

Question

Не понимаю надобность дифференциала функции, его механический смысл это произведение производной на приращение независимого аргумента, то есть мгновенной скорости в точки х0 на на некоторое дельта х, как и говорится в учебнике это теоретическое расстояние, которая могла бы пройти точка за дельта х, если бы она сохранила скорость, развитую в момент х0. С этим боле мене понятно, но непонятно как он связан с интегралом и зачем он вобще если достаточно производной?

Answer 1

ну как я понимаю производная - это направление движения функции (вектор) в заданной точке, но раз уж мы интеграл считаем какими то пусть и маленькими но кусочками - вот это направление умноженное на толщину этой полосочки и будет кусочком площади а сложив все такие кусочки на отрезке функции и получим интегральную площадь функции этой. Смысл я думаю прост - сделать видимость что мы типа правльно считаем с учётом направления функции, но по факту по моему как нарезали на прямоугольные куски функцию, пусть и очень мелко - так и нарезаем

Answer 2

производная-как круто функция в точке растёт, ну-под каким углом к абсциссе, может и вниз, тогда производная отрицательна. А интеграл вобще просто, собери под функцией всю площадь)

Answer 3

Интеграл - это обратная по отношению к производной функция. Если ты нашёл производную из какой-то первобразной, то проинтегрировав эту производную - ты получишь первобразную.

Answer 4

Если взять простой пример - движение тела. Дифференциал тут - это мгновенная скорость, то есть, как ты и сказал, какой путь тело прошло бы за некую единицу времени если бы скорость была всегда одинаковая, как в этот момент. А вот интеграл - это весь пройденный путь за время движения, то есть учитываются изменения скорости и с какой скоростью сколько оно двигалось.