Трехмерное измерение и четырехмерное

Question

например пока у нас есть двумерное пространство и мы имем площадь, в трёх мерном появляется объем, казалось бы, можно предложить, что в 4 д (или 5, 6 и тд) может появиться что то ещё. Например площадь квадара А^2 (в 2д мире) , объем куба уже А^3 (в 3д мире) , в 4д по сути мы можем найти объем как А^4 и в целом все что могли найти для 3д куба можно найти и для 4д, зависимость для куба вроде очевидна, а что делать со сферой, уже не так очевидно чему будет равен объем 4ех мерной сферы или цилиндра, думаю это можно посчитать разными способами, а том числе и через интегралы, но вопрос, почему новое измерение не даёт нам какое то новое свойство или я чего то не знаю

Answer 1

В n-мерном пространстве будет n-мерный объем. А объекты меньших размерностей будут называться гиеперповерхностями. Например, в 4-мерном пространстве кроме 4-объема будут размеры 3-мерной и 2-мерной гиперповерхностей. И да, вы верно думаете, что через интегральчики можно найти объем n-мерной сферы или цилиндра, так и делается. Новые объекты порордаются, только не стали придумывать названия для объемов для каждого n. Просто говорят: n-мерный объем. Хотя, у математиков вроде есть какие-термины на этот счет.

Answer 2

Задайтесь, лучше, задачей вычисления (гипер) объёма n-мерного симплекса, построенного на единичных кординатах. Для 1 мерного =1, двумерного (треугольника) = 0. 5, трехмерного (пирамидки) . С ростом размерности гиперобъём стремится к нулю!